기업 A는 직원의 노력 수준 $e$에 대해 정확히 알지 못한다. 직원의 노력 수준과 관찰 가능한 재화의 생산량 $q$ 간에는 $q = e + u$의 관계가 성립하며, 불확실성을 반영하는 $u$의 평균과 분산은 각각 $E(u) = 0$, $Var(u) = \sigma^2$이다. 한편, 직원의 노력 수준에 대한 비용함수는 $c(e) = \frac{1}{2}e^2$이며, 해당 직원이 다른 회사에서 일하는 경우 받을 수 있는 최대 보수는 $w_0$이다. 기업 A가 적용하는 직원에 대한 임금체계는 $s(q) = \alpha + \beta q$이며, 이 기업은 기대이윤을 극대화하는 $(\alpha, \beta)$를 설계하고자 한다. 해당 기업이 생산하는 재화의 가격은 1이며, 직원과 기업은 모두 위험중립적이다. 다음 물음에 답하시오. (총 26점) (단, $e \geq 0$, $q \geq 0$, $\beta \geq 0$, $0 < w_0 < \frac{1}{2}$)
- 주어진 $(\alpha, \beta)$ 하에서 직원의 최적 노력 수준을 구하시오. (10점)
- 기업의 기대이윤을 극대화하는 $(\alpha^, \beta^)$를 구하고, 그 의미를 설명하시오. (16점)