한 선거구에 충분히 많은 수의 유권자들이 있으며 이들의 정치성향은 ‘극좌’부터 ‘극우’까지 동일한 비율로 고르게 분포하고 있다.
극좌 ─── 중도좌 ─── 중도 ─── 중도우 ─── 극우
후보자들은 다섯 가지 정치성향 중 하나만을 선택할 수 있으며 유권자들은 후보자들이 선택한 정치성향을 보고 자신의 정치성향과 가장 가까운 후보자에게 투표한다. 이웃한 정치성향 간의 간격은 모두 동일하다고 가정한다. 후보는 가능한 최대의 득표를 얻고자 한다. 유권자는 자신의 정치성향과 가장 가까운 후보자가 여럿인 경우 임의로 그들 중 하나에 투표한다.
(1) 후보자가 두 명이며, 각 후보는 다른 후보의 선택을 관찰하지 못하고 동시에 선택해야 한다. 이 경우 각 후보자가 모두 ‘중도’ 성향을 선택하는 것이 유일한 내쉬균형(Nash equilibrium)이 됨을 증명하시오. (15점)
(2) 이제 후보자가 세 명이라고 하자. 두 명의 후보자가 먼저 동시에 정치성향을 선택하고 나머지 한 명의 후보자는 이를 관찰한 뒤 나중에 정치성향을 선택한다. 역진귀납법(backward-induction)을 이용하여 일반적인 내쉬 균형에서의 정치성향 선택(‘중도좌’, ‘중도’, ‘중도우’) 결과가 서브게임-완전 내쉬 균형(subgame-perfect Nash equilibrium)에서도 나타남을 증명하시오. (15점)
(3) 이제 후보자들의 선택가능한 정치성향이 동일한 비율의 연속적인 분포를 따른다고 하자. 다시 말해, ‘극좌’와 ‘극우’ 사이의 어떤 정치성향―예를 들어, ‘중도좌’와 ‘중도’ 사이의 $1/3$ 지점―이라도 하나를 선택할 수 있다. (1)과 마찬가지로 후보자는 두 명이며 다른 후보의 선택을 관찰하지 못한 상태로 동시에 정치성향을 선택해야 한다. 이때, 유일 내쉬균형은 무엇인지 기술하시오. (10점)